Théorème de relèvement

Le théorème de relèvement est employé lors de l'étude de fonctions réelles à valeurs complexes. Il peut s'énoncer de la façon suivante :

Si f est une fonction de classe C¹ sur un intervalle I de $\small \mathbb R$ à valeurs dans le cercle unité $\small \mathbb U$ , alors il existe une application $\small \theta$ de classe C¹ sur I à valeurs dans $\small \mathbb R$ telle que :

$\large \forall {t} \in {I} \qquad f(t)\,=\,\exp(i {\theta(t)})$

On dit alors que $\small \theta$ est un relèvement de f.

Compléments

Deux relèvements d'une même fonction diffèrent d'une constante de la forme $\small 2 {k} {\pi}$ où k est un entier relatif.
Si la fonction f est de classe C^k où k est un entier naturel, alors il existe un relèvement de f de classe C^k.

Aparté

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