Polynômes

Exercice 1

Montrer que

$\large \exists\ !\ T_n \in {\mathbb R}[X]\ /\ \deg(T_n)\,=\,n\ {\text et}\ \forall t \in {\mathbb R}\ T_n(\cos(t))\,=\,\cos(nt)$

puis donner T_n sous forme factorisée dans $\small {\mathbb R}[X]$ .

Exercice 2

On munit $\small {\mathbb R}[X]$ du produit scalaire suivant :

$\large {\lt}P|Q{\gt}\,=\,\int_0^1{P(t)Q(t)\e(t){\rm d}t$

Soit (p_k) la base obtenue en orthogonalisant 1,X,X²,.... Montrer qu'il existe deux suites réelles $\small (\alpha_n)$ et $\small (\beta_n)$ telles que

$\large \forall k \in {\mathbb N}^*\ X.p_k\ =\ p_{k+1}\ +\ \alpha_k p_k\ +\ \beta_k p_{k-1}$