Espaces euclidiens

Exercice 1

Soit E un espace euclidien, (e₁, ..., e_p) une famille de vecteurs de E vérifiant :

$\large i\,\neq\,j\ \Rightarrow\ (e_i | e_j)\,{\lt}\,0$

Soit $\small v = \lambda e_1 + \mu e_2$ avec $\small (e_1 | v) \geq 0$ et $\small (e_2 | v) \geq 0$ . Montrer que $\small \lambda \geq 0$ et $\small \mu \geq 0$ .

Montrer par récurrence que pour tout $\small n \leq p$ :

$\large \left( v\,=\,\sum_{i=1}^n{\lambda_i e_i} \ \wedge \ \forall i, (e_i | v)\,\geq\,0 \right) \ \Rightarrow \ \lef( \forall i\,\leq\,n,\ \lambda_i\,\geq\,0 \right)$

On pourra introduire le projecteur orthogonal sur $\small (Vect(e_n))^{\perp}$ .

Montrer que $\small (e_1, \cdots, e_{p-1})$ est libre.

Indication : si $\small \sum_{i=1}^{p-1}{\alpha_i e_i} = \vec 0$ , on pourra considérer $\small y = \sum_{i=1}^{p-1}{\| \alpha_i \| e_i}$ .