Équations fonctionnelles

Exercice 1

Soient E et F deux $\small \mathbb R$ espaces vectoriels normés, F étant complet. Soit $\small f : E \to F$ continue telle que

$\large \exists M \in \mathbb{R}_{*}^{+}\ |\ \forall (x,y) \in E^2,\ \|| f(x+y)-f(x)-f(y) \||\,\leq\,M$

On pose alors :

$\large g_n(x)\,=\,\frac{1}{2^n}f(2^n n)$

Montrer que (g_n) converge uniformément sur E et que sa limite est une application linéaire continue de E dans F.

Indication : penser au critère de Cauchy sous une forme appropriée.

Déterminer toutes les fonctions $\small f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continues en 0 et vérifiant :

$\large \forall (x,y) \in {\mathbb R}^2 \quad f(x+y)\,\leq\,f(x)\,+\,f(y)$

$\large \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}\,=\,1$