Formulaire taupinal

Développements limités

On a préféré écrire les développements suivants en extension (ie. avec des points de suspension) par choix. Ils sont tous valables au voisinage de zéro. Et il est bon de les retenir, bien entendu.

Dans les développements de $\small \tan(x)$ et $\small {\rm th}(x)$ les coefficients $\small {\cal B}_n$ désignent les nombres de Bernoulli.

$\large {1 \over {1\,-\,x}} \,=\, 1 \,+\, x \,+\, x^2\,+\,x^3\,+\,x^4\,+\,\cdots \,+\,x^n\,+\,{\cal o}(x^n)$

$\large {1 \over {1\,+\,x}}\,=\,1\,-\,x\,+\,x^2\,-\,x^3\,+\,x^4\,+\,\cdots\,+\,(-1)^n x^n\,+\,{\cal o}(x^n)$

$\large (1\,+\,x)^{\alpha}\,=\,1\,+\,\alpha x\,+\,{{\alpha (\alpha\,-\,1)} \over 2} x^2\,+\,\cdots\,+\,{{\alpha (\alpha\,-\,1) \cdots (\alpha\,-\,(n\,-\,1))} \over {n!}} x^n\,+\,{\cal o}(x^n)$

$\large \ln(1\,+\,x)\,=\,x\,-\,{x^2 \over 2}\,+\,{x^3 \over 3}\,-\,{x^4 \over 4}\,+\,\cdots\,+\,{{(-1)^n x^{n\,+\,1}} \over {n\,+\,1}}\,+\,{\cal o}(x^{n\,+\,1})$

$\large \exp(x)\,=\,1\,+\,x\,+\,{x^2 \over 2}\,+\,{x^3 \over {3!}}\,+\,{x^4 \over {4!}}\,+\, \cdots\,+\,{x^n \over {n!}}\,+\,{\cal o}(x^n)$

$\large \cos(x)\,=\,1\,-\,{x^2 \over {2!}}\,+\,{x^4 \over {4!}}\,-\,{x^6 \over {6!}}\,+\,\cdots\,+\,{{(-1)^n x^{2n}} \over {(2n)!}}\,+\,{\cal o}(x^{2n})$

$\large \sin(x)\,=\,x\,-\,{x^3 \over {3!}}\,+\,{x^5 \over {5!}}\,-\,{x^6 \over {6!}}\,+\,\cdots\,+\,{{(-1)^n x^{2n\,+\,1}} \over {(2n\,+\,1)!}}\,+\,{\cal o}(x^{2n\,+\,1})$

$\large \tan(x)\,=\,x\,+\,{\frac 1 3} x^3\,+\,{\frac 2 {15}} x^5\,+\,{\frac {17} {315}} x^7\,+\,\cdots\,+\,{{2^{2n} (2^{2n}-1) {\cal B}_{2n}} \over {(2n)!}} x^{2n-1}\,+\,{\cal o}(x^{2n-1})$

$\large \arcsin(x)\,=\,x\,+\,{\frac 1 6} {x^3}\,+\,{\frac 3 {40}} {x^5}\,+\,\cdots\,+\,{x^{2n+1} \over {2n+1}}\,\times\,{\frac {1\,\times\,3\,\times\,\cdots\,\times\,(2n-1)} {2\,\times\,4\,\times\,\cdots\,\times\,(2n)}}\,+\,{\cal o}(x^{2n+1})$

$\large \arctan(x)\,=\,x\,-\,{{x^3} \over 3}\,+\,{{x^5} \over 5}\,-\,{{x^7} \over 7}\,+\,{x^9 \over 9}\,-\,{x^{11} \over {11}}\,+\,\cdots\,+\,{{(-1)^n x^{2n+1}} \over {2n+1}}\,+\,{\cal o}(x^{2n+1})$

$\large {\rm ch}(x)\,=\,1\,+\,{x^2 \over 2}\,+\,{x^4 \over {4!}}\,+\,{x^6 \over {6!}}\,+\,\cdots\,+\,{{x^{2n}} \over {(2n)!}}\,+\,{\cal o}(x^{2n})$

$\large {\rm sh}(x)\,=\,x\,+\,{x^3 \over 6}\,+\,{x^5 \over {5!}}\,+\,{x^7 \over {7!}}\,+\,\cdots\,+\,{{x^{2n\,+\,1}} \over {(2n\,+\,1)!}}\,+\,{\cal o}(x^{2n\,+\,1})$

$\large {\rm th}(x)\,=\,x\,-\,{\frac 1 3} x^3\,+\,{\frac 2 {15}} x^5\,-\,\cdots\,+\,{{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) {\cal B}_{2n}} \over {(2n)!}} x^{2n-1}\,+\,{\cal o}(x^{2n-1})$

$\large {\rm argsh}(x)\,=\,x\,-\,{\frac 1 6} {x^3} \,+\,{\frac 3 {40}} {x^5}\,-\,\cdots\,+\,{(-1)^n {x^{2n+1}} \over {2n+1}} {\frac {1\,\times\,3\,\times\,\cdots\,\times\,(2n-1)} {2\,\times\,4\,\times\,\cdots\,\times\,(2n)}}\,+\,{\cal o}(x^{2n+1})$

$\large {\rm argth}(x)\,=\,x\,+\,{{x^3} \over 3}\,+\,{{x^5} \over 5}\,+\,{{x^7} \over 7}\,+\,{x^9 \over 9}\,+\,{x^{11} \over {11}}\,+\,\cdots\,+\,{{x^{2n+1}} \over {2n+1}}\,+\,{\cal o}(x^{2n+1})$

Formules trigonométriques

Trigonométrie « classique »

Relations de base

$\large \fbox{\cos^2(t)\,+\,\sin^2(t)\,=\,1}$

$\large \cos(\alpha\,+\,\beta)\,=\,\cos(\alpha) \cos(\beta)\,-\,\sin(\alpha) \sin(\beta)$

$\large \sin(\alpha\,+\,\beta)\,=\,\sin(\alpha) \cos(\beta)\,+\,\sin(\beta) \cos(\alpha)$

$\large \tan(\alpha\,+\,\beta)\,=\,{{\tan(\alpha)\,+\,\tan(\beta)} \over {1\,-\,\tan(\alpha) \tan(\beta)}}$

Différence

$\large \cos(\alpha\,-\,\beta)\,=\,\cos(\alpha) \cos(\beta)\,+\,\sin(\alpha) \sin(\beta)$

$\large \sin(\alpha\,-\,\beta)\,=\,\sin(\alpha) \cos(\beta)\,-\,\sin(\beta) \cos(\alpha)$

$\large \tan(\alpha\,-\,\beta)\,=\,{{\tan(\alpha)\,-\,\tan(\beta)} \over {1\,+\,\tan(\alpha) \tan(\beta)}}$

Duplication

$\large \cos(2 \alpha)\,=\,2 \cos^2(\alpha)\,-\,1\,=\,1\,-\,2 \sin^2(\alpha)$

$\large \sin(2 \alpha)\,=\,2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$

$\large \tan(2 \alpha)\,=\,{{2 \tan(\alpha)} \over {1\,-\,\tan^2(\alpha)}}$

Linéarisation

$\large \cos^2 (\alpha)\,=\,{{1\,+\,\cos (2 \alpha)} \over 2}$

$\large \sin^2 (\alpha)\,=\,{{1\,-\,\cos (2 \alpha)} \over 2}$

Produits

$\large \cos(\alpha) \cos(\beta)\,=\,{{\cos (\alpha\,+\,\beta)\,+\,\cos(\alpha\,-\,\beta)} \over 2}$

$\large \sin(\alpha) \sin(\beta)\,=\,{{\cos (\alpha\,-\,\beta)\,-\,\cos(\alpha\,+\,\beta)} \over 2}$

$\large \sin(\alpha) \cos(\beta)\,=\,{{\sin (\alpha\,+\,\beta)\,+\,\sin(\alpha\,-\,\beta)} \over 2}$

Factorisation

$\large \cos(\alpha)\,+\,\cos(\beta)\,=\,2 \cos\left({{\alpha\,+\,\beta} \over 2}\right) \cos\left({{\alpha\,-\,\beta} \over 2}\right)$

$\large \cos(\alpha)\,-\,\cos(\beta)\,=\,(-2) \sin\left({{\alpha\,+\,\beta} \over 2}\right) \sin\left({{\alpha\,-\,\beta} \over 2}\right)$

$\large \sin(\alpha)\,+\,\sin(\beta)\,=\,2 \sin\left({{\alpha\,+\,\beta} \over 2}\right) \cos\left({{\alpha\,-\,\beta} \over 2}\right)$

$\large \sin(\alpha)\,-\,\sin(\beta)\,=\,2 \cos\left({{\alpha\,+\,\beta} \over 2}\right) \sin\left({{\alpha\,-\,\beta} \over 2}\right)$

Passage à la tangente du demi-angle

$\large {\text On note} \qquad \tau\,=\,\tan(\frac \theta 2)$

$\large \sin(\theta)\,=\,{{2 \tau} \over {1\,+\,\tau^2}$

$\large \cos(\theta)\,=\,{{1\,-\,\tau^2} \over {1\,+\,\tau^2}}$

$\large \tan(\theta)\,=\,{{2 \tau} \over {1\,-\,\tau^2}}$

Relations d'Euler

Parfois, on n'a d'autre solution que de passer (brutalement) en calculant avec des exponentielles dans $\small \mathbb C$ , ce qui se fait directement à l'aide des relations d'Euler :

$\large \fbox{\cos(\theta)\,=\,{{{\rm e}^{i \theta}\,+\,{\rm e}^{- i \theta}} \over 2}}$

$\large \fbox{\sin(\theta)\,=\,{{{\rm e}^{i \theta}\,-\,{\rm e}^{- i \theta}} \over {2 i}}}$

$\large \tan(\theta)\,=\,{-i}\,\cdot\,{{{\rm e}^{i \theta}\,-\,{\rm e}^{-i \theta}} \over {{\rm e}^{i \theta}\,+\,{\rm e}^{- i \theta}}}$

Autres relations avec l'exponentielle complexe

$\large e^{i \theta}\,=\,{\frac {1\,-\,\tau^2\,+\,2 i \tau} {1\,+\,\tau^2}}$

$\large e^{2 i \theta}\,=\,2 cos(\theta) e^{i \theta}\,-\,1$

Trigonométrie hyperbolique

Relations de base

$\large \fbox{{\rm ch}^2(t)\,-\,{\rm sh}^2(t)\,=\,1}$

$\large {\rm ch}(\alpha\,+\,\beta)\,=\,{\rm ch}(\alpha) {\rm ch}(\beta)\,+\,{\rm sh}(\alpha) {\rm sh}(\beta)$

$\large {\rm sh}(\alpha\,+\,\beta)\,=\,{\rm sh}(\alpha) {\rm ch}(\beta)\,+\,{\rm sh}(\beta) {\rm ch}(\alpha)$

$\large {\rm th}(\alpha\,+\,\beta)\,=\,{{{\rm th}(\alpha)\,+\,{\rm th}(\beta)} \over {1\,+\,{\rm th}(\alpha) {\rm th}(\beta)}}$

Différence

$\large {\rm ch}(\alpha\,-\,\beta)\,=\,{\rm ch}(\alpha) {\rm ch}(\beta)\,-\,{\rm sh}(\alpha) {\rm sh}(\beta)$

$\large {\rm sh}(\alpha\,-\,\beta)\,=\,{\rm sh}(\alpha) {\rm ch}(\beta)\,-\,{\rm sh}(\beta) {\rm ch}(\alpha)$

$\large {\rm th}(\alpha\,-\,\beta)\,=\,{{{\rm th}(\alpha)\,-\,{\rm th}(\beta)} \over {1\,-\,{\rm th}(\alpha) {\rm th}(\beta)}}$

Duplication

$\large {\rm ch}(2 \alpha)\,=\,2 {\rm ch}^2(\alpha)\,-\,1\,=\,1\,+\,2 {\rm sh}^2(\alpha)$

$\large {\rm sh}(2 \alpha)\,=\,2 {\rm sh}(\alpha) {\rm ch}(\alpha)$

$\large {\rm th}(2 \alpha)\,=\,{{2 {\rm th}(\alpha)} \over {1\,+\,{\rm th}^2(\alpha)}}$

Linéarisation

$\large {\rm ch}^2 (\alpha)\,=\,{{{\rm ch} (2 \alpha)\,+\,1} \over 2}$

$\large {\rm sh}^2 (\alpha)\,=\,{{{\rm ch} (2 \alpha)\,-\,1} \over 2}$

Produits

$\large {\rm ch}(\alpha) {\rm ch}(\beta)\,=\,{{{\rm ch} (\alpha\,+\,\beta)\,+\,{\rm ch}(\alpha\,-\,\beta)} \over 2}$

$\large {\rm sh}(\alpha) {\rm sh}(\beta)\,=\,{{{\rm ch} (\alpha\,+\,\beta)\,-\,{\rm ch}(\alpha\,-\,\beta)} \over 2}$

$\large {\rm sh}(\alpha) {\rm ch}(\beta)\,=\,{{{\rm sh} (\alpha\,+\,\beta)\,+\,{\rm sh}(\alpha\,-\,\beta)} \over 2}$

Factorisation

$\large {\rm ch}(\alpha)\,+\,{\rm ch}(\beta)\,=\,2 {\rm ch}\left({{\alpha\,+\,\beta} \over 2}\right) {\rm ch}\left({{\alpha\,-\,\beta} \over 2}\right)$

$\large {\rm ch}(\alpha)\,-\,{\rm ch}(\beta)\,=\,2 {\rm sh}\left({{\alpha\,+\,\beta} \over 2}\right) {\rm sh}\left({{\alpha\,-\,\beta} \over 2}\right)$

$\large {\rm sh}(\alpha)\,+\,{\rm sh}(\beta)\,=\,2 {\rm sh}\left({{\alpha\,+\,\beta} \over 2}\right) {\rm ch}\left({{\alpha\,-\,\beta} \over 2}\right)$

$\large {\rm sh}(\alpha)\,-\,{\rm sh}(\beta)\,=\,2 {\rm ch}\left({{\alpha\,+\,\beta} \over 2}\right) {\rm sh}\left({{\alpha\,-\,\beta} \over 2}\right)$

Passage à la tangente du demi-angle

$\large {\text On note} \qquad \tau\,=\,{\rm th}(\frac t 2)$

$\large {\rm sh}(t)\,=\,{{2 \tau} \over {1\,-\,\tau^2}$

$\large {\rm ch}(t)\,=\,{{1\,+\,\tau^2} \over {1\,-\,\tau^2}}$

$\large {\rm th}(t)\,=\,{{2 \tau} \over {1\,+\,\tau^2}}$

Relations avec l'exponentielle

Parfois, on n'a d'autre solution que de passer (brutalement) en calculant avec des exponentielles dans $\small \mathbb R$ , ce qui se fait directement à l'aide des relations qui définissent les fonctions trigonométriques hyperboliques :

$\large \fbox{{\rm ch}(t)\,=\,{{{\rm e}^{t}\,+\,{\rm e}^{-t}} \over 2}}$

$\large \fbox{{\rm sh}(t)\,=\,{{{\rm e}^{t}\,-\,{\rm e}^{-t}} \over 2}}$

$\large {\rm th}(t)\,=\,{{{\rm e}^{t}\,-\,{\rm e}^{-t}} \over {{\rm e}^{t}\,+\,{\rm e}^{-t}}}$