Exercices taupinaux

Présentation

Voici une petite sélection de problèmes originaux et (ou) intéressants à démontrer. Pour plus d'exercices, vous pouvez aussi consulter la petite sélection d'exercices d'oral suivante :

Équations fonctionnelles : Exercices sur des équations fonctionnelles abordables.
Espaces euclidiens : Exercices sur les espaces vectoriels euclidiens.
Géométrie : Quelques exercices de géométrie.
Polynômes : Exercices sur les polynômes.
Réduction des endomorphismes : Exercices sur la réduction des endomorphismes.

Espaces vectoriels

Intersection de sous-espaces

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur $\small \mathbb K$ un corps commutatif, $\small (F_i)_{i \in I}$ une famille de sous-espaces vectoriels de E. Soit $\small F = \cap_{i \in I}{F_i}$ : montrer qu'il existe une partie finie (i₁, i₂, ..., i_p) extraite de I telle que :

$\large \cap_{k=1}^{p}{F_{i_k}}\,=\,F$

Indication : raisonner sur un algorithme de construction d'une suite d'espaces décroissante contenant F.

Isométries

Soit E un espace euclidien et f un endomorphisme de E. Montrer que les trois propriétés qui suivent sont équivalentes :

f est une isométrie ;
f² = -Id_E ;
$\small \forall x \in E\ {\lt} f(x) | x {\gt} = 0$ .

Sous-espaces

Montrer que tout hyperplan de $\small {\cal M}_n({\mathbb K})$ rencontre $\small {\cal GL}_n({\mathbb K})$ .

Projecteurs

Montrer que si p et q sont deux projecteurs d'un e.v. $\small \cal E$ de dimension finie, alors $\small p + {\sqrt 2} q$ n'est pas un projecteur de $\small \cal E$ .

Matrices nilpotentes

Soit $\small (A,B) \in {\cal M}_n({\mathbb R})\ /\ A.B - B.A = A$ : montrer que

$\large \forall k \in {\mathbb N}\ A^k.B\,-\,B.A^k\,=\,k.A^k$

et en déduire que A est nilpotente.